一、基础知识　　　　　　　　　　　　　　　　　班级 　　　姓名 　　　

1． 性质

对称性 a＞bÛb＜a 传递性 a＞b，b＞c Þ a＞c 加法单调性 a＞b Þ a+c＞b+c 乘法单调性a＞b，c＞0 Þ ac＞bc；a＞b，c＜0 Þ ac＜bc开方法则a＞b＞0 Þ 移项法则a+b＞c Þ a＞c－b 同向不等式相加a＞b，c＞d Þ a+c＞b+d 同向不等式相乘 a＞b＞0，c＞d＞0 Þ ac＞bd 乘方法则a＞b＞0 Þ aⁿ＞bⁿ 倒数法则a＞b，ab＞0 Þ

2． 证明方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法

证明技巧：逆代，判别式，放缩，拆项，单调性

3． 主要公式及解题思路

公式：a²+b²≥2ab（a，b∈R） a³+b³+c³≥3abc（a，b，c∈R⁺）

思路：①②

　 ③

④正数x，y且x+y=1，求证：≥

二、例题解析

1．（1）a，b∈R⁺且a＜b，则下列不等式一定成立的是　　　　　　　　　　　　（ ）

A． 　　　B．

C．　　　 D．

（2）若0＜x＜1，0＜y＜1且x≠y，则x²+y²，x+y，2xy，中最大的一个是 （ ）

A．x²+y² B．x+y　　 C．2xy　　　 D．

（3）若a，b为非零实数，则在①a²+b²≥2ab ②≤ ③≥

④≥2中恒成立的个数为　　 （ ）　 A．4　 B．3　 C．2　 D．1

（4）下列函数中，y的最小值是4的是（ ）

A． B． C．y= D．y=lgx+4log_x10

（5）若a²+b²+c²=1，则下列不等式成立的是（ ）

A. a²+b²+c²＞1 B.ab+bc+ca≥　　 C.|abc|≤　　 D a³+b³+c³≥

2．（1）已知x，y∈R⁺且2x+y=1，则的最小值为　　　 　

（2）已知x，y∈R 且x²+y²=1，则3x+4y的最大值为　　

（3）在等比数列{a_n}和等差数列{b_n}中，a₁=b₁＞0，a₃=b₃＞0，a₁≠a₃，试比较大小：a₅　 b₅

（4）已知a＞0，b＞0，a + b=1，则的最小值为　　　

（5）已知：x+2y=1，则的最小值为　　　

（6）已知：x＞0，y＞0且x+2y=4，则lg x + lg y的最大值为　　

（7）若x＞0，则　　 ，若x＜0，则　　

（8）建造一个容积为8 m³，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁造价分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为　　　 元。

（9）某工厂生产机器的产量，第二年比第一年增长的百分率为a，第三年比第二年增长的百分率为b，第四年比第三年增长的百分率为c，设年平均增长的百分率为P，且a+b+c为定值，则P的最大值为 　　　　

3．求证：a²+b²≥ab+a+b－1

4．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：≥

5．已知：a，b，c∈R⁺且a+b+c=1，求证：

（1）≥9　 （2）≥ （3）ab+bc+ca≤

6．实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1，ac+bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数。

7．当0＜x＜1时，求下列函数的最大值。

（1）y=x（1－x） （2）y=x（1－x）² （3）y=x²（1－x） （4）y=x（1－x²）

8．某种汽车购买时费用为10万元,每年的保险、养路、汽车费用共计9千元,汽车的维修费各年为:第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元,依每年2千元的增量逐年递增,问这种汽车最多使用多少年报废最合算?(即使用多少年的年平均费用最小)